sunnuntai 10. lokakuuta 2010

Weapon of Choice.

Nauroin tämän päivän xkcd:lle.

Hauskuus perustuu Banach-Tarskin paradoksiin. Paradoksi perustuu siihen, että kaksi rajoitettua joukkoa, joiden kummankin sisäpisteiden joukko on epätyhjä, voidaan pilkkoa palasiksi niin, palat ovat pareittain kongruentteja. Siis, rotaatioita ja siirtoja lukuunottamatta täysin samoja. Vieläpä äärelliseen määrään palasia.

Tämä kuulostaa hullulta, mutta taustalla on samat reaalilukujen omituisuudet, joiden vuoksi esimerkiksi mitallisuuden kanssa joudutaan käyttämään Borelin joukkoja ja sigma-algebroja. Maallikkoselitys tälle on, että reaalilukujen joukkoja on niin paljon, että mukaan mahtuu kaikenlaista todella hullua. Jos mitallisuuden käsitettä yritetään soveltaa mielivaltaisiin reaalilukujen joukkoihin, niin saadaan aikaan kaikkea todella kummallista, kuten joukko, jonka koko muuttuu, kun sitä siirrellään edestakaisin. Banach-Tarskin paradoksissa tehdyssä paloittelussa saadut palaset ovat luonnollisesti tämänkaltaisia joukkoja.

Luin joskus yli kymmenen vuotta sitten mitta- ja integraaliteorian kurssin, ja silloin vakuutuin, että jatkuva matematiikka ei ole minua varten. Oma henkilökohtainen vakaumukseni on, että reaaliluvut ovat toki ihan kivoja ja käteviä, mutta lukusuora miinakenttä, jossa miinoja on melkein kaikkialla. Tarkoitan tällä jotain sellaista, että reaalilukujen teoria on jotain samanlaista kuin kvanttimekaniikka; arki-intuitio hajoaa aivan täysin, jos sitä yrittää soveltaa. Siksi ehkä tykkään enemmän diskreetistä matematiikasta, ja erityisesti äärellisestä sellaisesta. Kyse ei ole intuitionistien tai konstruktivistien hulluttelusta, vaan siitä, että tykkään luottaa intuitiooni, koska olen laiska.

En ryhtynyt tutkimaan tietojenkäsittelyä tästä syystä; siihen ajauduin sattumalta. Mutta se on osasyy, miksi olen pysynyt alalla. Ei sillä, joutuu täälläkin toisinaan äärettömyyksien kanssa tekemisiin, mutta se on yleensä sellaista kilttiä äärettömyyttä, joka muuttuu äärelliseksi sitten symmetrioiden ja abstraktioiden soveltamisen jälkeen. Jos valinta-aksioomalla oikeasti on väliä, niin liikutaan jossain sellaisessa maailmassa, jossa mikään ei ole varmaa. Sopii joillekin, mutta, not my weapon of choice.

7 kommenttia:

Markku kirjoitti...

Sama juttu. Jatkuvan matematiikan ymmärtäminen olisi vaatinut niin paljon paneutumista, etten ollut sellaisiin sitoumuksiin valmis varsinkaan, kun ankaran painimisen tuloksena saadusta hyödystä ei ollut riittäviä takeita. Siksi kohdallani päti maksiimi Kun he näkevät integraalimerkin, he vaihtavat koulutusohjelmaa.

Tiedemies kirjoitti...

Heh, minä en kavahtanut integraalimerkkejä, divergenssit tms. vektorikenttien differentiaalioperaattorit tahkosin urheasti läpi, mutta en vain innostunut hommasta riittävästi.

Automaattiteoria, formaalisten kielten teoria, informaatioteoria ja tilastomatematiikka, ja (viiveellä) matemaattinen logiikka sensijaan kolahtivat.

Ehkä paradoksaalisesti, pärjäsin jatkuvassa matematiikassa paremmin, vedin vektorikenttien, differentiaaliyhtälöiden jne. kursseista vitoset, ja diskreetistä kamasta vain kolmosia ja kakkosia. Ehkä niiden haastavuus perustui erilaiseen mekanismiin, ja minulle tuli tunne siitä, että se on oikeasti mielekästä ja syvällistä, eikä pelkkää peliä.

Juho kirjoitti...

Tarkoitan tällä jotain sellaista, että reaalilukujen teoria on jotain samanlaista kuin kvanttimekaniikka; arki-intuitio hajoaa aivan täysin, jos sitä yrittää soveltaa. Siksi ehkä tykkään enemmän diskreetistä matematiikasta, ja erityisesti äärellisestä sellaisesta.

Mietin aikanaan samoja juttuja ja minusta tuntui että monet analyysin kummallisuudet (esim. mitallisten joukkojen ongelmat ja funktioiden erityistarkastelu äärettömyydessä) ovat seurausta diskreetin ajattelutavan yhdistämisestä jatkumon käsitteeseen.

Tällä tarkoitan sitä, että jatkumon ajatellaan toisaalta koostuvan yksittäisistä pisteistä ja toisaalta sen ajatellaan olevan jatkuva. Myös erityisen referenssipisteen (origon) asettaminen on toisaalta luontevaa ja toisaalta tuo ongelmia äärettömyyden kanssa. Pienet kummallisuudet tuntuvat siksi luontevilta. (Projektiivinen geometria korjaa erityispisteiden tuoman äärettömyysongelman, muttei tietenkään ole enää niin yhteensopiva arkitodellisuuden ja arkiajattelun kanssa.)

Pidän havainnoista (ja selitysvoimaisista teorioista), jotka haastavat arki-intuition. Se tuntuisi olevan vihje niiden tärkeydestä: kyseessä on mahdollinen kasvun paikka ja uuden, ehkä hedelmällisemmän näkemyksen omaksuminen. Sikäli esim. kvanttimekaniikka, suhteellisuusteoria ja biologia ovat hyvin kutkuttavia aloja. No, oikeastaan hyvin monella tieteen alalla on tämä sama potentiaali.

Tiedemies kirjoitti...

Uskon siihen, mitä legendaarinen Armo Pohjavirta totesi joskus: että mikä tahansa vakavastiotettava tiede (ja moni vähemmän vakavastiotettavakin) on mielenkiintoista ja älyllisesti haastavaa, kun menee riittävän syvälle.

Simo kirjoitti...

Oi niitä aikoja... näin uutiskuvaa WTC:n tornien räjähdyksestä juuri mitta- ja integraaliteorian kurssin kahvitauolla.

Se oli ensimmäinen kurssi, jossa topologiaa sovellettiin raskaasti. Muilla kursseilla topologiaa käsiteltiin vasta lopussa, kun taas mitta- ja integraaliteoriassa joukko-oppi ja metriikat läväytettiin heti alkuun ja niiden päälle rakennettiin kaikki muu.

Kurssista on jäänyt parhaiten mieleen topologinen lähestymistapa, jossa ensin otetaan mahdollisimman pieni joukko aksioomia, joilla pyöritetään ydintulokset. Vasta sitten "laskeudutaan" epäolennaisia monimutkaisuuksia sisältäviin reaali/vektoriavaruuksiiin.

Se oli myös ainut matikankurssi, josta en päässyt läpi, kun matskun vaikeuden takia prokrastrinoin tenttiin lukemista.

Tiedemies kirjoitti...

Minä en käynyt kurssia luentokurssina. Väinö Jalava lätkäisi minulle kouraan Roydenin "Real Analysis"-kirjan ja omat prujunsa "Moderni Analyysi I ja II" ja luettelin parikymmentä tehtävää, jotka piti tehdä ja sitten palauttaa.

Tiedemies kirjoitti...

Itseasiassa, ei lätkäissyt kirjaa, vaan käski hakea sen kirjastosta. Tehtävien tekoon oli aikaa vain kaksi viikkoa, koska Jalava jäi eläkkeelle!