torstai 23. maaliskuuta 2017

Alfa, beta ja gamma, eli mikro/makromalli pohdittavaksi

Kun tutkin taloustieteellisiä malleja (tai minun kohdallani pseudotieteellisiä malleja, sillä olen koulutukseltani matemaatikko ja tietojenkäsittelijä, enkä ole julkaissut yhtään taloustieteellistä vertaisarvioitua artikkelia; olen opiskellut kansantaloustiedettä muutaman vuoden, mutta muutoin olen ns itseoppinut) pyrin aina lähestymään mallia avoimin mielin. Tarkoitan, pyrin välttämään  mallin parametrien valintaa ja tulkintaa arvolähtökohdista. Sen sijaan toki tutkailen jälkikäteen, millaisilla parametreillä mallin tuottama ennuste vastaisi parhaiten sitä, minkä toivoisin olevan asiantila, ja jos käsitykseni todellisuudesta on näiden parametrien osalta eri, niin pohdin toki millainen politiikka esimerkiksi voisi efektiivisesti muuttaa parametrejä sellaisiksi että maailma olisi "parempi" mielestäni.

Rakennan tässä pseudotieteellisen mallin ja pyrin pitämään sen rakennusvaiheessa kaiken toiveajattelun sivussa ja ottamaan huomioon vain havaintojani tosiasioista, sekä sellaisia osia jo tunnetuista malleista, joiden uskon sopivan malliin käsittellisellä tasolla. Pyydän lukijaa välttämään reifikaatiota omassa tulkinnassaan ja välttämään myös mallin kritiikkiä joka perustuu turhiin reifikaatioihin.

Lähdetään mikrotason mallista. Oletamme että jokainen talouden toimija saa tuloja. Tulojen määrä määräytyy mallista lopulta endogeenisesti, mutta mallinnamme ensin kulutuksen. Jos toimijan tulot ovat y, niin toimija joko kuluttaa tai säästää tulonsa. Toimijalle pätee identiteetti y = c + i, missä c on kulutus ja i on säästö. Oletamme että toimijalla on jotakin välttämättömiä menoja a ja lisäksi jokin rajakulutusaste b,  jolloin c = a + by. Tällöin i = (1-b)y - a. Oletamme että nämä vaihtelevat yksilöstä toiseen, eli emme oleta esimerkiksi että ihmisillä on vakiosuuruinen rajakulutusaste. Sensijaan oletamme että populaatiossa on yksilöitä joilla on eri suuruisia parametrejä. Jos ajanjaksona i on negatiivinen, niin oletamme että yksilö likvidoi säästöjään ja käyttää niitä.

Oletamme lisäksi että yksilön säästöt tuottavat, kuten pääomalla on yleensä tapana. Tämäkin riippuu yksilöstä. Jos oletetaan että on tietty "ideaalinen", keskimääräinen markkinatuotto r, niin   Rahoituksessa kunkin sijoittajan portfolion tuoton odotusarvon ajatellaan olevan muotoa alpha + beta*r, missä alpha on kuvitteellinen "magic touch", sijoittajan kyky tehdä keskimääräistä parempia sijoituksia, ja beta on tietoisesti otettu riski. Yksi tulkinta on siis, että isomman tuoton tavoitteleminen ilman erityistä tietoa tai taitoa (eli alphaa) tapahtuu aina niin että otetaan suurempaa riskiä (betaa).  Tämä tulkinta ei ole ongelmaton, sillä beta ei kuvaa absoluuttista riskiä, vaan riskiä joka johtuu yleisestä markkinoiden heilahtelusta. Esimerkiksi kultaan sijoittaminen voi olla negatiivisen betan strategia, olettaen että kullan arvo nousee kun osakkeiden arvo laskee, esimerkiksi.

Tässä mallissa kuitenkin teemme toisenlaisen oletuksen. Oletamme karkeasti, että säästöjen tuotto riippuu "taidosta" ja "riskistä", ja että näiden mittareina ovat alpha ja beta. Konservatiivisella mutta taitavalla sijoittajalla on matala beta ja korkea alpha, kun taas huonoja päätöksiä tekevällä ja suuria riskejä ottavalla on korkea beta ja matala alpha.

Oletamme lisäksi, että sijoittajalla on "maaginen", mutta endogeeninen piirre gamma. Gamma on muotoa z + g(x), missä z on vakio joka riippuu yksilöstä ja g on kasvava funktio joka riippuu omaisuuden määrästä x. z voi olla negatiivinen, nolla, tai positiivinen. Negatiivinen z tarkoittaa matalaa sosiaalista pääomaa ja positiivinen korkeaa. Ideana on siis mallintaa se, että joillakin yksilöillä on lähtökohtaisesti paremmat mahdollisuudet sijoittaa omaisuuttaan, sekä se, että mitä enemmän rahaa on sijoitettavana, sitä alhaisemmat ovat erilaiset transaktiokustannukset.

Oletetaan että jokaisella yksilöllä on tuloja s + (alpha + sigma(beta) + gamma)*x*r, missä s on palkkatulo ja x on henkilön säästöt. sigma(beta) on (esim) normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on beta + 1 ja keskihajonta on beta + d.  Alpha on luku välillä -1...1. Tässä "d" on parametri joka kuvaa riskin keskimääräistä suuruutta.

Palkkatulo voidaan olettaa eksogeeniseksi, mutta se voidaan myös tehdä endogeeniseksi. Oletetaan että talous toimii Solowin kasvumallin mukaisesti pääpiirteittäin ja että palkkatulot riippuvat tuotantofunktiosta f(k), missä k on koko pääomavarannon suuruus, eli kaikkien yksilöiden säästöjen yhteenlaskettu määrä.  Yksinkertaistaen voitaisiin esimerkiksi sopia että palkkatulot ovat yhteensä aina tarkalleen pääomatulojen suuruiset (esimerkiksi) tai voidaan tehdä jokin endogenisointi korkotason ja palkkatulojen avulla. Malleja on paljon ja näistä voidaan valita se, joka soveltuu analyysiin parhaiten.

Tämän jälkeen käynnistetään simulaatio, tai muodostetaan mallista jonkinlainen differentiaaliyhtälö. Kumpikaan ei ole mitenkään hirvittävän vaikeaa. Simulaatiossa luodaan iso joukko yksilöitä, joilla on erilaisia alfoja, betoja, ja gammoja. Yksinkertaisimmassa simulaatiossa voidaan esimerkiksi olettaa että on kolmenlaisia alfoja (-1, 0 ja 1), kolmenlaisia betoja (-1, 0, 1) ja kolmenlaisia gammoja (z = -1,0,1), ja kaikilla on tarkalleen samansuuruiset palkkatulot. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella että on kolmenlaisia palkkatuloja, (0, matala, korkea).

Simulaatiossa siis katsotaan, millaisille yksilöille ja millaisilla parametreillä kertyy säästöjä. Ceteris paribus, matala rajakulutusaste ja kiinteät kulut, korkea alfa, ja korkea beta ja korkea gamma ennustanevat tätä.  Jos satunnaisuuden merkitystä kasvatetaan, niin sopivalla sigma-satunnaismuuttujan valinnalla riittävän korkea beta ennustaa huonoa.

Lisätään malliin vielä yksi takaisinkytkentä. Oletetaan, että alpha vaikuttaa siihen, miten hyvin  pääoma allokoituu, beta vaikuttaa nollasummaisesti ja gamma negatiivissummaisesti pääoman kokonaistuottoon. Käytännössä siis niin, että ensin lasketaan kaikkien säästöt yhteen, ja saadaan X (tämä on pääomavaranto). Jokaisella on tästä "osuus", x/X. Tämän jälkeen lasketaan kaikkien yksilöiden kohdalla alpha*r*x ja lisätään tämä X:ään. Sen jälkeen lasketaan gamma*r*x ja vähennetään tämä X:stä. Näin saadusta pääomavarannosta sitten otetaan jokaiselle osuus, ja tuotto lasketaan tästä osuudesta. 

Nyt mallista voidaan ennakoida seuraavaa: Mitä enemmän pääoma kumuloituu korkean gamman yksilöille, sitä vähemmän pääomavaranto kasvaa.  Tässä voidaan nyt nähdä yksi ideologinen selitysmalli paljaana, ainakin tehokkuuden näkökulmasta: Jos uskomme, että alpha on yleistä, niin rikkaiden rikastuminen markkinoilla on vain hyvä asia. Jos uskomme, että gamma on yleistä, niin rikkaiden rikastuminen markkinoilla ei ole ainoastaan "muilta pois", vaan se on myös asia joka on itsessään huono. Jos taas beta dominoi tuottoa, niin rikkaiden rikastuminen ei ole mikään kummoinen moraalinen kysymys, vaan se heijastelee yksinkertaisesti yksilöiden valmiutta ottaa riskejä.

Itse uskon, että ihmisillä on sekä alphaa, betaa, että gammaa. Hyvässä yhteiskunnassa alpha ja beta dominoivat, huonossa gamma. Uskon myös että aika iso osa vasemmiston hölmöstä poliittisesta agendasta johtuu siitä, että he sekoittavat betan ja gamman toisiinsa, ja iso osa oikeiston typerästä ja moraalittomasta sekoilusta siitä, että he eivät myönnä gammaa olevan olemassakaan. Taloustieteilijät taas eivät pääsääntöisesti onnistu selittämään asiaa, koska he uskovat että kaikki on betaa.

Ei kommentteja: