Saavut tienristeykseen, jossa voit kääntyä joko vasemmalle tai oikealle. Toisessa suunnassa on valehtelijoiden kylä ja toisessa totuudenpuhujien kylä. Valehtelijoiden kylän asukkaat valehtelevat aina ja totuudenpuhujien kylän asukkaat puhuvat aina totta. Haluaisit tietää kumpi tie vie kumpaan kylään. Risteyksessä on yksi henkilö joka on jommasta kummasta kylästä. Voit kysyä häneltä yhden kysymyksen, johon hän vastaa "kyllä" tai "ei".Tässä kysymys voidaan asetella niin, että sekä valehtelija että totuudenpuhuja paljastavat saman informaation. Yksinkertaisimmillaan voidaan osoittaa toista tietä ja kysyä "Viekö tämä tie sinun kylääsi?". Jos vastaus on "kyllä", niin kyseinen kylä on totuudenpuhujien kylä, ja jos se on "ei", niin kyseessä on valehtelijoiden kylä. Ratkaisu perustuu siihen, että vastaus riippuu vastaajan identiteetistä ennustettavalla tavalla.
"Maailman vaikein" tehtävä on tämän saman pähkinän vaikeampi variantti. Siinä on kolme oraakkelia (tehtävässä puhutaan "jumalista" mutta käytän mieluummin neutraalimpaa ilmaisua). Yksi oraakkeleista vastaa aina totuudenmukaisesti, yksi valehtelee, ja yksi puhuu totta tai valehtelee, mutta satunnaisesti. Nimeämme nämä Totuudenpuhujaksi, Valehtelijaksi ja Satunnaiseksi. Jotta tehtävä ei olisi liian helppo, oraakkelit kyllä ymmärtävät meidän kieltämme, mutta puhuvat itse outoa kieltä, jota vastaaja ei ymmärrä. Heidän vastauksensa on aina "ja" tai "da", joista toinen tarkoittaa "kyllä" ja toinen "ei" , mutta kysyjä ei etukäteen tiedä, kumpi se on.
Tehtävä on jo tässä muotoilussaan epätäsmällinen, ja siksi siitä onkin kaksi varianttia. Nimittäin, miten Satunnainen valitsee vastauksensa? Alkuperäinen muotoilija teki täsmennyksen näin: Ennen kysymystä Satunnainen heittää kolikkoa ja päättää vastaako seuraavaan kysymykseen kuten valehtelija, vai puhuuko totta. Tämä johtaa aivan eri lopputulokseen kuin toinen variantti, jossa Satunnainen valitsee kolikonheiton perusteella, vastaako kysymykseen "kyllä" vai "ei". Ensimmäinen variantti on ratkaistavissa yksinkertaisella kysymysskeemalla. Olkoon "q" mielivaltainen kysymys. Metakysymys menee näin: "Jos kysyn sinulta kysymyksen q, niin vastaatko 'ja'". Merkitään tätä skeemaa E(q):lla. Nyt, jos vastaus kysymykseen "q" on "kyllä", niin vastaus kysymykseen E(q) on aina "ja". ja jos se on "ei", niin vastaus on aina "da". Miksi näin?
No oletetaan että q on totta. Tällöin totuudenpuhuja vastaa kysymykseen q sanalla, joka tarkoittaa "kyllä". Jos tämä on sama kuin "ja", niin totuudenpuhuja vastaa metakysymykseen myös "kyllä", eli sanoo "ja". Jos taas "kyllä" on "da", niin vastaus kysymykseen q on "da", joten "ja" tarkoittaa "ei", eli vastaus on jälleen kerran "ja". Valehtelija taas vastaisi kysymykseen q päinvastoin, ja toisaalta valehtelisi metakysymykseen, mikä taas tarkoittaa että hän vastaa metakysymykseen tarkalleen samoin kuin totuudenpuhuja. Koska Satunnainen toimii jommalla kummalla tavalla, hän vastaa samoin. Näin näemme, että tällä kysymysskeemalla saamme ongelman muutettua triviaaliksi, eli voimme kysyä minkä tahansa kysymyksen ja saada siihen luotettavan vastauksen, upottamalla kysymys tähän metakysymykseen.
Välittömästi näemme että ongelma muuttuu vaikeammaksi, mikäli Satunnainen vastaa heittämällä kolikkoa. Tietämättä varmasti, että emme ole kuulustelemassa Satunnaista, emme voi päätellä vastauksesta mitään. Kysymysskeema toimii kyllä totuudenpuhujalle ja valehtelijalle, mutta satunnainen voi vastata mitä tahansa. Satunnainen pitää siis kyetä tunnistamaan, jotta skeemaa voi käyttää. Tähänkin on olemassa ratkaisu. Oletetaan että oraakkelit on nimetty A, B, ja C, ja näiden identiteetti pitää tunnistaa. Jos kysymme B:ltä kysymyksen E("Onko A satunnainen") ja vastaus on "ja", niin tiedämme, että C ei ole satunnainen. Miksi näin? Jos B ei ole satunnainen, niin A on satunnainen edellisen nojalla. Toisaalta, B voi olla satunnainen, mutta tällöinkään C ei ole satunnainen. Jos taas vastaus on "da", tiedämme, että A ei ole satunnainen, koska jos B ei ole satunnainen, niin edellisen nojalla A ei ole satunnainen. Jos taas B on satunnainen, niin A ei voi olla satunnainen.
Tämän yhden kysymyksen jälkeen edellisen kohdan skeema tekee kaikista tehtävistä "triviaaleja".
Homma ei pääty tähän. Tällaisina kysymyksinä logiikkapähkinät ovat monille pelkkiä älyllisiä kuriositeetteja. Mutta niiden avulla voidaan etsiä rajoja sille, miten voimme hankkia tietoa. Ongelmasta on esitetty variantteja, joissa esimerkiksi emme tiedä mitään vastaajien kielestä etukäteen. Saamme vastaukseksi symbolin jota emme etukäteen tunne. Tämä muuttaa skeemaa, mutta kun meillä on joku vastaus mihin tahansa kysymykseen, voimme ottaa tämän symbolin skeemaan symbolin "ja" paikalle ja jatkaa kuten edellä. Ensimmäinen kysymys täytyy vain muotoilla niin, että voimme sitten jälkikäteen käyttää hyväksemme sen sisältämää informaatiota.
Epistemologisesti tämä kysymys on myöskin mielenkiintoinen. Ainakin sen soveltaminen ns tosiasioiden maailmaan on epätriviaali. Oletetaan että teemme jotain koejärjestelyitä joilla koetamme selvittää maailmassa päteviä tosiasioita. Tällaisissa tilanteissa nokkelat metaskeemat näyttävät ensialkuun lapsellisilta leikeiltä, koska on vaikeaa nähdä miten mikään koejärjestely voisi toimia empiirisessä tieteessä jotenkin samaan tapaan itseviittaavana kuin edellä esitetty kysymysskeema.
Näihin logiikkapulmiin on esitetty ns. päänräjäytyskysymyksiä. Esimerkiksi voimme esittää kysymysskeemoja, jotka räjäyttäväy totuudenpuhujan (tai valehtelijan) pään, koska niiden kysymyksiin ei voi vastata totuudenmukaisesti (tai ei voi valehdella) joutumatta paradoksiin. Näiden operationaalinen ja epistemologinen relevanssi on mielestäni ilmiselvästi nolla, koska vaikka kuinka kirjoittaisimme lapulle loogisen paradoksin, lappu ei haihdu savuna ilmaan. Ergo, tosiasioiden maailma ei koostu loogisista tosiasioista, ainoastaan kuvauksemme siitä.
En muutenkaan pidä ajatuksesta, jonka mukaan logiikka on jotakin joka toimii rajoittamattomasti totuuden paljastamisessa. En osaa selittää sitä kovin tarkkaan (enkä edes yritä, koska se ei ole tässä niin olennaista), mutta vaikka logiikka on lähes absurdiuteen asti tehokas ja totuudenmukainen päättelyn väline, olen vakuuttunut siitä, että se on loppujen lopuksi tietyssä mielessä pelkästään ihmismielen ja ennenkaikkea ilmaisun rajoite. En nyt viittaa siihen, että sama tosiasia voi olla juuri niin kuin se on ja olla samanaikaisesti olematta, vaan että kielen ja logiikan luoma "vankila" asettaa rajat sille, mitä voidaan ilmaista, ja tämä näkyy siinä että logiikka ei tavoita kaikkea sitä mitä ehkä haluamme ilmaista. Wittgensteinin hengessä voimme todeta vain että meidän on vaiettava siitä, mistä emme voi puhua; tämä on tautologia jo ihan teknisistä syistä.
Paradoksit eivät ole kuitenkaan epistemologisesti täysin turhia. Paradoksin muotoilun ja olemassaolon mahdollisuus kertoo mielestäni, että venytämme formaalin koneiston ikäänkuin äärimmilleen niin, että se menee rikki. Riittävän ekspressiiviset formalismit voivat aina ilmaista paradokseja, joista kuuluisin on Russelin paradoksi, joka tunnetaan myös parturin paradoksin nimellä. Siksi paradoksi kertoo meille, että ilmaisuun käyttämämme formalismi ei loppujen lopuksi ole riittävän rajoittunut. Niin kutsuttu "todellisuus" ei voi tällaisia rajoituksia omata; tosiasiathan ovat juuri sitä mitä ne ovat, pelkästään niistä puhuminen ja niiden ilmaiseminen ei tosiasioita miksikään muuta. Osaksi tämän näennäisesti ylittämättömän kuilun vuoksi olen toisinaan ilmaissut asian niin, että ei ole olemassa mitään "objektiivista todellisuutta", tarkoittaen sitä, että ei ole mitään keinoa todeta todellisuuden kuvausta kanoniseksi tai "oikeaksi" millään kattavalla ja loogisella tavalla.
Ajaudun sivujuonteelle. Voimme ajatella tosiasioiden selvittämistä kyselypähkinänä, jossa koejärjestely on kysymys, koejärjestelyn operationalisointi on "kieli" jolla kysymykseen vastataan ja lopputulos on "oraakkelin" vastaus. Yleensä teemme erilaisia oletuksia tällaisen oraakkelin luonteesta; tämä on abstraktio. Esimerkiksi koejärjestelyssä, jossa pudotamme metallikuulan Pisan kaltevasta tornista, kysymme kysymyksen, "jos pudotan tämän kuulan tästä, kauanko sillä kestää pudota maahan". Yleistämme tämän kysymyksen, olettamalla tavallaan implisiittisen totuudenpuhuvan (tai jossain määrin oikeansuuntaisesti vastaavan) oraakkelin, teemme mittauksia useita ja päättelemme jotain yleistä painovoimasta.
Nämä kysymykset, pähkinät, paradoksit ja "päänräjäyttämiset" täytyy jotenkin ensi vuonna integroida opetukseen. En tietenkään aio pitää niitä keskiössä, mutta aion kuitenkin antaa tällaisen pohdinnan ohjata opetusmateriaalin ja sisällön valintaa jossain määrin. Toki opetusohjelman yleisten reunaehtojen niin salliessa.
1 kommentti:
Vei vähän aikaa ja paperia, kunnes tajusin miten seuraava menee:
Välittömästi näemme että ongelma muuttuu vaikeammaksi, mikäli Satunnainen vastaa heittämällä kolikkoa. Tietämättä varmasti, että emme ole kuulustelemassa Satunnaista, emme voi päätellä vastauksesta mitään. Kysymysskeema toimii kyllä totuudenpuhujalle ja valehtelijalle, mutta satunnainen voi vastata mitä tahansa. Satunnainen pitää siis kyetä tunnistamaan, jotta skeemaa voi käyttää. Tähänkin on olemassa ratkaisu. Oletetaan että oraakkelit on nimetty A, B, ja C, ja näiden identiteetti pitää tunnistaa. Jos kysymme B:ltä kysymyksen E("Onko A satunnainen") ja vastaus on "ja", niin tiedämme, että C ei ole satunnainen.
Aluksi luulin, että tässä on jotakin väärin. Sitten tajusin, että kysymys E("Onko A satunnainen") pitääkin olla upotettu metakysymykseen edellisen tapauksen malliin. Tämän jälkeen ei tarvinnut muuta kuin laatia totuustaulukko, niin johan selkeni.
Se että keksii kysyä oikeanlaisen metakysymyksen olisi kyllä jäänyt minulta tekemättä, joten siinä mielessä tehtävää voi pitää todella vaikeana.
Muistaakseni Martin Gardnerin kirjoista löytyy joitain tällaisia paradokseja, mikäli aiot niitä joskus hyödyntää. Omasta kirjahyllystä löytyy yksi tekijän kirja, mutta pikaisella selailulla siinä ei ollut vastaavia.
Syvällisempi logiikka on jo päässyt unohtumaan, mutta eikös nämä Russellin paradoksit ym vastaavat kierry aina loppujen lopuksi siihen ettei yksikään formaalinen järjestelmä ole täydellinen eli Gödelin teoreemaan?
xkcd on aikoinaan ilkikurisuudessaan sanonut oman näkemyksensä vastaavista paradokseista.
Lähetä kommentti