Lähdetään tilanteesta, jossa meillä on osittaisjärjestetty joukko, pari (S, ≤), joka on samalla ns. hila. Hilalla tarkoitetaan rakennetta, jossa osittaisjärjestyksen suhteen voidaan löytää kullekin alkioparille pienin yläraja (sup) ja suurin alaraja (inf). Näitä voidaan merkitä useammallakin symbolilla, mutta usein käytetään merkintöjä x ∨ y ja x ∧ y. Hila on täydellinen, jos jokaisella osajoukolla on sup ja inf, ja näinollen koko joukolla on suurin ja pienin alkio. Näitä on tapana merkitä symboleilla 1 ja 0, joskus myös T ja ⊥. (Tarkkaanottaen ensimmäinen ei ole "T", mutten löytänyt symbolia). Täydellinen hila on komplementoitu, jos jokaiselle alkiolle on komplementti, x*, siten että x ∨ x* = 1 ja x ∧ x* = 0. Hila on distributiivinen, jos x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z). Komplementoitu distributiivinen hila on Boolen algebra.
Jos meillä on ensimmäisen kertaluvun logiikka, sen kaavojen ekvivalenssiluokista voidaan muodostaa boolen algebra, jossa x ∨ y tarkoittaa kaavojen x ja y disjunktiota, x ∧ y konjunktiota ja x* negaatiota. Lisäksi pätee että x ≤ y jos ja vain jos x* ∨ y = 1. Tämä voidaan todistaa ominaisuuksista teoreemana. Operaatiota x* ∨ y merkitään logiikassa tavallisesti implikaationuolella.
Algebrallinen lähestymistapa kohtaa topologian myös logiikan kohdalla. Filtteri (suomeksi "suodatin", mutten käytä tätä sanaa koska mielestäni se ei ole sopiva tässä kohtaa) voidaan ajatella algebran osajoukoksi, jolla on muutama ominaisuus: Se ei sisällä alkiota 0, ja jos x ja y kuuluvat filtteriin, x ∧ y kuuluu filtteriin, ja se on ylöspäin suljettu, eli jos x on filtterissä, niin jokainen y siten että x ≤ y on myös filtterissä. Filtterit vastaavat logiikan struktuureina konsistentteja teorioita. Maksimaalinen filtteri on filtteri, jota ei voi kasvattaa. Maksimaalista filtteriä nimitetään myös ultrafilttereiksi.
Tärkeä algebrassa käytettävä kuvaus on homomorfismi. Kuvaus f algebralta X algebralle Y on homomorfismi, jos f(x * y) = f(x) * f(y) kaikille algebran operaatioille. Homomorfismin ja filtterin suhde on mielenkiintoinen. Nimittäin, jos f on homomorfismi X:ltä Y:lle, niin alkion 1 alkukuva X:ssä on filtteri. Jos homomorfismi on 2-arvoinen (eli saa vain arvoja 0 ja 1), niin alkukuva on ultrafiltteri.
Kun filtteri vastaa teoriaa, niin ultrafiltteri vastaa täydellistä teoriaa, siis teoriaa, joka määrittää jokaisen logiikan kaavan totuusarvon.
Filtterin F osajoukko X on kanta, jos jokaiselle filtterin alkiolle löytyy alaraja X:stä. Kanta vastaa aksiomatisointia.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti